樋口三郎の授業情報@龍谷大学理工学部数理情報学科

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線型な微分方程式

線型な微分方程式の定義について質問してもらいました.微分方程式(*)が線型とは,「x1(t),x2(t)が(*)を満たすなら,任意の定数C1,C2に対してx3(t)=A x1(t)+B x2(t)も(*)を満たす」ような微分方程式(*)のことと思ってくれていいです.例えば,微分方程式¥left(¥frac{dx}{dt}(t)¥right)^2=1って線型じゃないよね.¥frac{dx}{dt}(t)=¥pm 1だから,x1(t)=x,x2(t)=-xは解だけど,x3(t)=x1(t)+x2(t)=0 は解になってないでしょ.というわけで微分方程式が線型であるためには a_n x^{(n)}(t)+a_{n-1}x^{(n-1)}(t)+¥cdots a_1 x’(t)+a_0x(t)=0

という形である必要があります.x^{(n)}(t)x(t)n微分¥frac{d^nx}{dt^n}(t)です.